原子根の存在証明
この前話題に上がったので, 初等的証明を書いておきます. はてなブログで数式を扱う練習も兼ねて.
以下では は素数とします. フェルマーの小定理より というのが が の倍数でなければ成り立つわけですが, ここで となるような最小の正の整数 を の mod における位数と呼びます. \(a^{e}\equiv 0\) のとき \(e\) が \(d\) の倍数になることに注意. 位数がちょうど になるような を原始根と呼び, このような原始根は各 について存在することが知られています.
存在を証明しましょう. まずは簡単な補題から.
証明: の位数を , の位数を とする. の位数を ( ) とする. \[ 1 \equiv (ab)^{n(cm+d)}\equiv a^{nd} \pmod {p} \] であり, は と互いに素なので, で \(ab\) の位数は \(m\) の倍数. 同様に \(n\) の倍数にもなる. \((ab)^{mn}\equiv 1\) は明らか. \(\square\)
この補題より, \(p-1\) の素因数分解の各項 (素べき) について, それを位数に持つ数がとれれば十分ですね.
\(s=q^{e}\) を \(p-1\) を割り切る素べき, \(t=\frac{p-1}{s}\) とする. \(x=1, 2, \ldots, p-1\) について, \({x^{t}}^{s}\equiv 1 \) である. ところで, 定数 \(k\) について \(x^{t}\equiv k\) なる \(x\) は高々 \(t\) 個しか存在しない (剰余の定理から従う) ので, \(x^{s}\equiv 1\) となる \(1\leq x\leq p-1\) は \(s\) 個以上存在する. これらの \(x\) の位数が \(q^{e}\) でないとすると \(q^{e-1}=s/q\) の約数なので, \(x^{s/q}\equiv 1\) でなければいけないが, この解は高々 \(s/q \lt s\) 個なので, 位数がちょうど \(q^{e}\) であるような \(x\) が存在する.
ということで示せました. 初等的ですね.
にしてもはてなブログに数式書くの面倒ですね.
近況報告
ブログを始めました.
確率論と関数解析を中心に勉強している工学部生です. 進学先を迷っていて, 今日はK大の確率論の先生に会いに行ってきました.
関数解析ってどのくらい確率論に使うのかという話になって, Banach-Alaogluくらいまでなら使うかもと言われたのですが, ちょうど勉強しているあたりの内容で運命?を感じました.
Banach-Alaogluというのはノルム空間のdualの単位球は弱*コンパクトという定理です. まあ分布収束の位相はテスト関数の積分値の収束で定まるいわゆる弱*位相というやつなので, そういうことですね. 数学的な内容もそのうち更新できたらなあと思います.
K大に職を持つ先輩にもいきなり連絡したら応じてもらえてお茶をしました. 年の差が少しありますが, こういう交流は大事にしたいですね. 色々な話を聞いて面白かった.
また更新します.